phương trình đã cho có 1 họ nghiệm
Câu hỏi
Nhận biết
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Cách giải nhanh bài tập này
+) TH1: \(\cos \frac{x}{2} = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin x = 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} = 0\\{\sin ^2}\frac{x}{2} = 1\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow {4.0^2} + \frac{1}{2}.0 + 3.1 = 3\) (luôn đúng) \( \Rightarrow \cos \frac{x}{2} = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) là nghiệm của phương trình.
+) TH2: \(\cos \dfrac{x}{2} \ne 0\), chia cả 2 vế của phương trình có \(\cos \dfrac{x}{2} \ne 0\) ta được phương trình tương đương:
\(\begin{array}{l}4\dfrac{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}} + \dfrac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2}}}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}} + 3\dfrac{{si{n^2}\dfrac{x}{2}}}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}} = \dfrac{3}{{{{\cos }^2}\dfrac{x}{2}}}\\ \Leftrightarrow 4 + \tan \dfrac{x}{2} + 3{\tan ^2}\dfrac{x}{2} = 3\left( {1 + {{\tan }^2}\dfrac{x}{2}} \right)\end{array}\)
Đặt t = tan\(\dfrac{x}{2}\) thì phương trình trở thành: \(3{t^2} + t + 4 = 3\left( {1 + {t^2}} \right)\)
\(t = - 1 \Leftrightarrow \tan \frac{x}{2} = - 1 \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} = - \dfrac{\pi }{4} + k\pi \Leftrightarrow x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)
Vậy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm.
