Phương trình cos ^3x + sin ^3x + 2sin ^2x = 1 có bao nhiêu nghiệm dương bé hơn 1000 mà sin x > 0?
Câu hỏi
Nhận biếtPhương trình \({\cos ^3}x + {\sin ^3}x + 2{\sin ^2}x = 1\) có bao nhiêu nghiệm dương bé hơn 1000 mà \(\sin x > 0\)?
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\;\;\;\;{\cos ^3}x + {\sin ^3}x + 2{\sin ^2}x = 1 \Leftrightarrow \;{\cos ^3}x + {\sin ^3}x + 2{\sin ^2}x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {{{\sin }^2}x - \sin x\cos x + {{\cos }^2}x} \right) + \left( {2{{\sin }^2}x - {{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {{{\sin }^2}x - \sin x\cos x + {{\cos }^2}x} \right) + \left( {\sin x - \cos x} \right)\left( {\sin x + \cos x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {1 - \sin x\cos x + \sin x - \cos x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {1 + \sin x} \right)\left( {1 - \cos x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x + \cos x = 0\\\sin x = - 1\\\cos x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\\\sin x = - 1\\\cos x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{2} + m2\pi \\x = l2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k,\;m,\;l \in \mathbb{Z}} \right).\end{array}\)
Do \(\sin x > 0\) nên chỉ có họ nghiệm \(x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \) với \(k = 2i + 1\,\,\left( {i \in \mathbb{Z}} \right)\) thõa mãn.
Xét: \(0 < - \frac{\pi }{4} + \left( {2i + 1} \right)\pi < 1000 \Leftrightarrow i \in \left\{ {0;\;1;..;\;158} \right\}\). Phương trình có 159 nghiệm thõa mãn yêu cầu.
Chọn A.
