Một nghiệm của phương trình lượng giác: sin ^2x + sin ^22x + sin ^23x
Câu hỏi
Nhận biếtMột nghiệm của phương trình lượng giác: \({ \sin ^2}x + { \sin ^2}2x + { \sin ^2}3x = 2 \) là:
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{\sin ^2}x + {\sin ^2}2x + {\sin ^2}3x = 2\\ \Leftrightarrow \frac{{1 - \cos 2x}}{2} + \frac{{1 - \cos 4x}}{2} + \frac{{1 - \cos 6x}}{2} = 2\\ \Leftrightarrow 3 - \left( {\cos 2x + \cos 4x + \cos 6x} \right) = 4\\ \Leftrightarrow \cos 2x + \cos 4x + \cos 6x = - 1\\ \Leftrightarrow 2\cos 4x\cos 2x + \cos 4x = - 1\\ \Leftrightarrow \cos 4x\left( {2\cos 2x + 1} \right) = - 1\\ \Leftrightarrow \left( {2{{\cos }^2}2x - 1} \right)\left( {2\cos 2x + 1} \right) = - 1\\ \Leftrightarrow 4{\cos ^3}2x + 2{\cos ^2}2x - 2\cos 2x - 1 = - 1\\ \Leftrightarrow 2\cos 2x\left( {2{{\cos }^2}2x + \cos 2x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\2{\cos ^2}2x + \cos 2x - 1 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\\cos 2x = - 1\\\cos 2x = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\2x = \pi + k2\pi \\2x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\\x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)
Vậy một nghiệm của phương trình là \(x = \frac{\pi }{6}\).
Chọn C.
