Kí hiệu n! = n.( n - 1 ).( n - 2 )...3.2.1,,forall 1,2,3... Với S = 1
Câu hỏi
Nhận biếtKí hiệu \(n! = n. \left( {n - 1} \right). \left( {n - 2} \right)...3.2.1, \, \forall 1,2,3... \)
Với \(S = 1.1! + 2.2! + 3.3!... + 2007.2007! \) thì giá trị của \(S \) là bao nhiêu
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Đặt \({S_n} = 1.1! + 2.2! + 3.3!... + n.n!\)
Ta thấy: \({S_1} = 1 = 2! - 1\,\,;\,\,\,\,{S_2} = 5 = 3! - 1\) ; \({S_3} = 23 = 4! - 1\,\,;\,\,\,\,{S_4} = 119 = 5! - 1\)
\( \Rightarrow \) Dự đoán: \({S_n} = \left( {n + 1} \right)! - 1\,\,\,\left( 1 \right)\)
*) Chứng minh (1) bằng quy nạp:
+ Bước 1: Với \(n = 1 \Rightarrow {S_1} = 1.1! = 1\) (luôn đúng)
+ Bước 2: Giả sử (1) đúng với 1 số tự nhiên bất kỳ \(n = k\,\,\left( {k \ge 1} \right)\) ta có:
\({S_k} = 1.1! + 2.2! + 3.3!... + k.k! = \left( {k + 1} \right)! - 1\) (giả thiết quy nạp)
+ Bước 3: Ta phải chứng minh công thức đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh:
\({S_{k + 1}} = \left( {k + 1 + 1} \right)! - 1 = \left( {k + 2} \right)! - 1\,\,\,\left( 2 \right)\)
Ta có: \({S_{k + 1}} = {S_k} + \left( {k + 1} \right)\left( {k + 1} \right)! = \left( {k + 1} \right)! - 1 + \left( {k + 1} \right)\left( {k + 1} \right)!\)
\( = \left( {k + 1} \right)!\left( {1 + k + 1} \right) - 1 = \left( {k + 1} \right)!\left( {k + 2} \right) - 1 = \left( {k + 2} \right)! - 1 = VP\)
\( \Rightarrow \left( 2 \right)\) luôn đúng \( \Rightarrow \left( 1 \right)\) được chứng minh.
\( \Rightarrow S = {S_{2017}} = 2008! - 1\)
Chọn B.
