Hai nghiệm bất kì của phương trình 2sin ^3x - cos 2x + cos x = 0 cách nhau khoảng nhỏ nhất là?
Câu hỏi
Nhận biếtHai nghiệm bất kì của phương trình \(2{\sin ^3}x - \cos 2x + \cos x = 0\) cách nhau khoảng nhỏ nhất là?
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}Pt \Leftrightarrow 2{\sin ^3}x - 1 + 2{\sin ^2}x + \cos x = 0 \Leftrightarrow 2(\sin x + 1){\sin ^2}x + \cos x - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 2(\sin x + 1)(1 - {\cos ^2}x) + \cos x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {2(\sin x + 1)(\cos x + 1) - 1 = 0} \right]\\ \Leftrightarrow (1 - \cos x)\left[ {{{(\sin x + \cos x)}^2} + 2(\sin x + \cos x)} \right]\\ \Leftrightarrow (1 - \cos x)(\sin x + \cos x)(\sin x + \cos x + 2) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - \cos x = 0\\\sin x + \cos x = 0\\\sin x + \cos x + 2 = 0\,\,\,\,\,\,\,(vn)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 1\\\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = - \frac{\pi }{4} + m\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\left( {k,\;m \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Vậy phương trình có 2 họ nghiệm.
Hai nghiệm \({x_1},\,{x_2}\)của phương trình, nếu cùng 1 họ nghiệm thì khoảng cách nhỏ nhất\(\pi \) hoặc \(2\pi \). Nếu chúng thuộc hai họ nghiệm khác nhau, xét:
\(\left| {k2\pi - \left( { - \frac{\pi }{4} + m\pi } \right)} \right| = \left| {\frac{\pi }{4} + \pi \left( {2k - m} \right)} \right|\) nhỏ nhất khi chỉ khi \(2k = m\), khoảng cách nhỏ nhất là \(\frac{\pi }{4}\).
