Gọi x0 là nghiệm dương nhỏ nhất của cos 2x + căn 3 sin 2x + căn 3 sin x - cos x = 2. Mệnh đề nào
Câu hỏi
Nhận biếtGọi \({x_0}\) là nghiệm dương nhỏ nhất của \(\cos 2x + \sqrt 3 \sin 2x + \sqrt 3 \sin x - \cos x = 2.\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Phương trình \( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos 2x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x = 1\).
\( \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{\pi }{6} + 2x} \right) + \sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) = 1\).
Đặt \(t = x - \frac{\pi }{6} \Rightarrow x = t + \frac{\pi }{6} \Rightarrow 2x = 2t + \frac{\pi }{3} \Rightarrow 2x + \frac{\pi }{6} = 2t + \frac{\pi }{2}.\)
Phương trình trở thành \( \Leftrightarrow \sin \left( {2t + \frac{\pi }{2}} \right) + \sin t = 1 \Leftrightarrow \cos 2t + \sin t = 1\).
\( \Leftrightarrow 2{\sin ^2}t - \sin t = 0 \Leftrightarrow \sin t\left( {2\sin t - 1} \right) = 0.\)
+ \(sin\,t = 0 \Leftrightarrow t = k\pi \to x = \frac{\pi }{6} + k\pi > 0 \Leftrightarrow k > - \frac{1}{6}\,\,\left( {k \in Z} \right) \to {k_{\min }} = 0 \to x = \frac{\pi }{6}.\)
+ \(\sin t = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{\pi }{6} + k2\pi \to x = \frac{\pi }{3} + m2\pi > 0 \Leftrightarrow m > - \frac{1}{6}\,\,\,\left( {k \in Z} \right) \to {m_{\min }} = 0 \to x = \frac{\pi }{3}.\\t = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \to x = \pi + n2\pi > 0 \Leftrightarrow n > - \frac{1}{2}\,\,\,\left( {k \in Z} \right) \to {n_{\min }} = 0 \to x = \pi .\end{array} \right.\)
Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là \(x = \frac{\pi }{6} \in \left[ {\frac{\pi }{{12}};\frac{\pi }{6}} \right].\)
Chọn B
