Gọi S là tổng các nghiệm của phương trình ( 7 - 2cos 2x )( sin ^4x - cos ^4x ) + 3 = 0 trong khoảng
Câu hỏi
Nhận biếtGọi S là tổng các nghiệm của phương trình \(\left( {7 - 2\cos 2x} \right)\left( {{{\sin }^4}x - {{\cos }^4}x} \right) + 3 = 0\) trong khoảng \(\left( { - \pi ;\pi } \right)\). Giá trị của S là:
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có: \(\left( {7 - 2\cos 2x} \right)\left( {{{\sin }^4}x - {{\cos }^4}x} \right) + 3 = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {7 - 2\cos 2x} \right)\left( {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x} \right)\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) + 3 = 0\\ \Leftrightarrow - \left( {7 - 2\cos 2x} \right)\cos 2x + 3 = 0 \Leftrightarrow 2{\cos ^2}2x - 7\cos 2x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 3\,(vo\,nghiem)\\\cos 2x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)
+)\(x = \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in Z\), \(x \in \left( { - \pi ;\pi } \right)\)
\( \Rightarrow - \pi < \frac{\pi }{6} + k\pi < \pi \Leftrightarrow \frac{{ - 7}}{6} < k < \frac{5}{6} \Leftrightarrow k \in \left\{ { - 1;0} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ { - \frac{{5\pi }}{6};\frac{\pi }{6}} \right\}\)
+)\(x = - \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in Z\), \(x \in \left( { - \pi ;\pi } \right)\)
\( \Rightarrow - \pi < - \frac{\pi }{6} + k\pi < \pi \Leftrightarrow \frac{{ - 5}}{6} < k < \frac{7}{6} \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ { - \frac{\pi }{6};\frac{{5\pi }}{6}} \right\}\)
Tổng các nghiệm của phương trình là: \(S = - \frac{{5\pi }}{6} + \frac{\pi }{6} + \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) + \frac{{5\pi }}{6} = 0\).
Chọn: A
