Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2sin x + cos x2sin x - cos x + 3 là M và m. Tính
Câu hỏi
Nhận biếtGiá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{2\sin x + \cos x}}{{2\sin x - \cos x + 3}}\) là M và m. Tính giá trị \({M^2} + Mm + {m^2}\)là?
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có: \(2\sin x - \cos x + 3 = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\left( {\sin x.\frac{2}{{\sqrt 5 }} - \cos x.\frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right) + 3 = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\sin \left( {x + \alpha } \right) + 3 > 0\;\;\forall x \Rightarrow \) hàm số xác định trên R.
Với \(\sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt 5 }},\;\;\cos \alpha = \frac{2}{{\sqrt 5 }}.\)
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,y = \frac{{2\sin x + \cos x}}{{2\sin x - \cos x + 3}}\\ \Leftrightarrow 2\sin x + \cos x = y\left( {2\sin x - \cos x + 3} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {2y - 2} \right)\sin x - \left( {y + 1} \right)\cos x = - 3y\;\;\;\left( * \right)\end{array}\)
Để phương trình (*) có nghiệm x thì:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{\left( {2y - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} \ge {\left( { - 3y} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4{y^2} - 8y + 4 + {y^2} + 2y + 1 \ge 9{y^2}\\ \Leftrightarrow 4{y^2} + 6y - 5 \le 0\end{array}\)
Khi đó : \(M + m = - \frac{3}{2};Mm = - \frac{5}{4}\)(áp dụng định lý Vi-et đảo)
Vậy: \({M^2} + Mm + {m^2} = {\left( {M + m} \right)^2} - Mm = {\left( { - \frac{3}{2}} \right)^2} - \left( { - \frac{5}{4}} \right) = \frac{7}{2}\)
Chọn D.
