Giá trị của K = lim ( căn [3]n^3 + n^2 - 1 - 3 căn 4n^2 + n + 1 + 5n ) bằng:
![Giá trị của K = lim ( căn [3]n^3 + n^2 - 1 - 3 căn 4n^2 + n + 1 + 5n ) bằng:](https://tuhoc365.vn/wp-content/uploads/2020/03/qa-238x145.png "Giá trị của K = lim ( căn [3]n^3 + n^2 - 1 - 3 căn 4n^2 + n + 1 + 5n ) bằng:")
Câu hỏi
Nhận biếtGiá trị của \(K = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} - 3\sqrt {4{n^2} + n + 1} + 5n} \right)\) bằng:
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}K = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} - 3\sqrt {4{n^2} + n + 1} + 5n} \right)\\\;\;\; = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} - n} \right) - 3\lim \left( {\sqrt {4{n^2} + n + 1} - 2n} \right).\end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
A = \lim \left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} - n} \right)\\
= \lim \frac{{\left( {\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} - n} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + {n^2} - 1} \right)}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} + {n^2}} \right)}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + {n^2} - 1} \right)}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} + {n^2}}}\\
= \lim \frac{{{n^2} - 1}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {{n^3} + {n^2} - 1} \right)}^2}}} + n\sqrt[3]{{{n^3} + {n^2} - 1}} + {n^2}}}\\
= \lim \frac{{1 - \frac{1}{{{n^2}}}}}{{\sqrt[3]{{{{\left( {1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{{{n^3}}}} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{1 + \frac{1}{n} - \frac{1}{{{n^3}}}}} + 1}} = \frac{1}{{1 + 1 + 1}} = \frac{1}{3}.
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}B = \lim \left( {\sqrt {4{n^2} + n + 1} - 2n} \right) = \lim \frac{{\left( {\sqrt {4{n^2} + n + 1} - 2n} \right)\left( {\sqrt {4{n^2} + n + 1} + 2n} \right)}}{{\sqrt {4{n^2} + n + 1} + 2n}}\\ = \lim \frac{{4{n^2} + n + 1 - 4{n^2}}}{{\sqrt {4{n^2} + n + 1} + 2n}} = \lim \frac{{n + 1}}{{\sqrt {4{n^2} + n + 1} + 2n}} = \lim \frac{{1 + \frac{1}{n}}}{{\sqrt {4 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} + 2}} = \frac{1}{{\sqrt 4 + 2}} = \frac{1}{4}.\\ \Rightarrow K = A - 3B = \frac{1}{3} - \frac{3}{4} = - \frac{5}{{12}}.\end{array}\)
Chọn C.
