Giá trị của A = 11!2018! + 12!2017! + 13!2016! + ... + 11008!1011! + 11009!1010! bằng
Câu hỏi
Nhận biếtGiá trị của \(A = \frac{1}{{1!2018!}} + \frac{1}{{2!2017!}} + \frac{1}{{3!2016!}} + ... + \frac{1}{{1008!1011!}} + \frac{1}{{1009!1010!}}\) bằng
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có \(\frac{1}{{k!\left( {n - k} \right)!}} = \frac{{C_n^k}}{{n!}}\).
Do đó:
\(\begin{array}{l}A = \frac{1}{{1!.2018!}} + \frac{1}{{2!.2017!}} + \frac{1}{{3!.2016!}} + ....... + \frac{1}{{1008!.1011!}} + \frac{1}{{1009!.1010!}}\\ = \frac{{C_{2019}^1}}{{2019!}} + \frac{{C_{2019}^2}}{{2019!}} + \frac{{C_{2019}^3}}{{2019!}} + ... + \frac{{C_{2019}^{1009}}}{{2019!}} = \frac{{C_{2019}^1 + C_{2019}^2 + ... + C_{2019}^{1009}}}{{2019!}}\end{array}\)
Ta áp dụng khai triển: \({\left( {1 + 1} \right)^{2019}} = {2^{2019}} = C_{2019}^0 + C_{2019}^1 + ...... + C_{2019}^{1009} + ...... + C_{2019}^{2019}\)
Có: \(C_{2019}^0 = C_{2019}^{2019},\;\;C_{2019}^1 = C_{2019}^{2018},\;\;......,\;C_{2019}^{1009} = C_{2019}^{1010}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {2^{2019}} = 2\left( {C_{2019}^0 + C_{2019}^1 + C_{2019}^2 + ... + C_{2019}^{1009}} \right).\\ \Rightarrow A = \frac{{C_{2019}^0 + C_{2019}^1 + C_{2019}^2 + ... + C_{2019}^{1009} - 1}}{{2019!}} = \frac{{{2^{2018}} - 1}}{{2019!}}\end{array}\)
Chọn C
