Dãy số (un) xác định bởi un = căn 2010 + căn 2010 + căn ... + căn 2010 (n dấu căn ). Khẳ
Câu hỏi
Nhận biếtDãy số \(({u_n})\) xác định bởi \({u_n} = \sqrt {2010 + \sqrt {2010 + \sqrt {... + \sqrt {2010} } } } \) (n dấu căn). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có : \({u_{n + 1}} = \sqrt {2010 + \sqrt {2010 + \sqrt {....... + \sqrt {2010} } } } \) (\(n + 1\) dấu căn).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow u_{n + 1}^2 = 2010 + {u_n} \Leftrightarrow {u_n} = u_{n + 1}^2 - 2010\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = - u_{n + 1}^2 + {u_{n + 1}} + 2010\\ \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = - \left( {{u_{n + 1}} - \frac{{1 + \sqrt {8041} }}{2}} \right)\left( {{u_{n + 1}} + \frac{{1 - \sqrt {8041} }}{2}} \right)\end{array}\)
Bằng quy nạp ta chứng minh được \({u_n} < \frac{{1 + \sqrt {8041} }}{2}{\rm{ }}\forall n\)
Ta chứng minh như sau:
Giả sử \({u_k} = \sqrt {2010 + \sqrt {2010 + \sqrt {... + \sqrt {2010} } } } < \frac{{1 + \sqrt {8041} }}{2}\) (k dấu căn)
Cần chứng minh \({u_{k + 1}} = \sqrt {2010 + \sqrt {2010 + \sqrt {... + \sqrt {2010} } } } < \frac{{1 + \sqrt {8041} }}{2}\) (\(k + 1\) dấu căn)
Ta có
\(\begin{array}{l}{u_{k + 1}} = \sqrt {2010 + {u_k}} < \sqrt {2010 + \frac{{1 + \sqrt {8041} }}{2}} = \sqrt {\frac{{4021 + \sqrt {8041} }}{2}} = \frac{{\sqrt {8041 + 2\sqrt {8041} } }}{2}\\ < \frac{{\sqrt {8041 + 2\sqrt {8041} + 1} }}{2} = \frac{{\sqrt {{{\left( {1 + \sqrt {8041} } \right)}^2}} }}{2} = \frac{{1 + \sqrt {8041} }}{2}\\ \Rightarrow {u_n} < \frac{{1 + \sqrt {8041} }}{2}.\end{array}\)
Suy ra \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0 \Rightarrow \) dãy \(({u_n})\) là dãy tăng.
Chọn A.
