Chứng minh phương trình x^3 - 3x + 1 = 0 có ít nhất 3 nghiệm phân biệt
Câu hỏi
Nhận biếtChứng minh phương trình \({x^3} - 3x + 1 = 0\) có ít nhất 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng \(\left( { - 2;2} \right)\).
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Đặt \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 1\), hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 2} \right) = - 1\\f\left( { - 1} \right) = 3\end{array} \right. \Rightarrow f\left( { - 2} \right).f\left( { - 1} \right) < 0 \Rightarrow \) Phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất 1 nghiệm\({x_1} \in \left( { - 2; - 1} \right)\).
\(\left\{ \begin{array}{l}f\left( { - 1} \right) = 3\\f\left( {0,5} \right) = - \dfrac{3}{8}\end{array} \right. \Rightarrow f\left( { - 1} \right).f\left( {0,5} \right) < 0 \Rightarrow \) Phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất 1 nghiệm\({x_2} \in \left( { - 1;0,5} \right)\).
\(\left\{ \begin{array}{l}f\left( {0,5} \right) = - \dfrac{3}{8}\\f\left( 2 \right) = 3\end{array} \right. \Rightarrow f\left( {0,5} \right).f\left( 2 \right) < 0 \Rightarrow \) Phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất 1 nghiệm\({x_3} \in \left( {0,5;2} \right)\).
Do \(\left( { - 2; - 1} \right) \cap \left( { - 1;0,5} \right) \cap \left( {0,5;2} \right) = \emptyset \Rightarrow {x_1};{x_2};{x_3}\) phân biệt.
Vậy phương trình \({x^3} - 3x + 1 = 0\) có ít nhất 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng \(\left( { - 2;2} \right)\).
