Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng a và AB vuông góc với CD. Gọi I là trung điểm của BC. MMp(
Câu hỏi
Nhận biếtCho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng a và AB vuông góc với CD. Gọi I là trung điểm của BC. M\(Mp\left( \alpha \right)\) qua I song song với AB và CD cắt tứ diện theo 1 thiết diện có diện tích là:
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi E, G, F lần lượt là trung điểm của BD, AD và AC.
Ta có; IE // CD, FG// CD, IF // AB, EG // AB.
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}I \in \left( \alpha \right) \cap \left( {ABC} \right)\\\left( \alpha \right)\parallel AB \subset \left( {ABC} \right)\\{\rm{IF}}\parallel {\rm{AB}}\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {ABC} \right) = IF\\\left\{ \begin{array}{l}I \in \left( \alpha \right) \cap \left( {BCD} \right)\\\left( \alpha \right)\parallel CD \subset \left( {BCD} \right)\\IE\parallel CD\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {BCD} \right) = IE\\\left\{ \begin{array}{l}F \in \left( \alpha \right) \cap \left( {ACD} \right)\\\left( \alpha \right)\parallel CD \subset \left( {ACD} \right)\\{\rm{FG}}\parallel CD\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {ACD} \right) = FG\\\left( \alpha \right) \cap \left( {ABD} \right) = GE\end{array}\)
Vậy thiết diện của hình chóp khi cắt bởi là hình bình hành IEGF.
Ta có: \(IE = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}a\,\,;\,\,{\rm{IF = }}\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}a \Rightarrow IE = IF \Rightarrow IEGF\)là hình thoi cạnh \(\frac{a}{2}\).
Hơn nữa: IF // AB, IE // CD, \(AB\bot CD\Rightarrow IE\bot IF\Rightarrow IEGF\) là hình vuông cạnh \(\frac{a}{2}\).
Vậy \({{S}_{IEGF}}=\frac{{{a}^{2}}}{4}.\)
Chọn C.
