Cho tam giác ABC có trực tâm H trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Phép vị tự tâm G biến H t
Câu hỏi
Nhận biếtCho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Phép vị tự tâm G biến H thành O có tỉ số là :
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi H và O lần lượt là trực tâm và tam đường tròn ngoại tiếp tâm giác ABC.
Gọi M là trung điểm của BC, kẻ đường kính BK.
Xét đường tròn ngoại tiếp tâm O có \(\widehat {BCK}\) nội tiếp chắn nửa đường tròn \( \Rightarrow \widehat {BCK} = {90^0} \Rightarrow BC \bot CK\)
Mà \(AH \bot BC \Rightarrow AH//CK\)
Tương tự ta chứng minh được \(AK//CH\)
\( \Rightarrow \) Tứ giác AHCK là hình bình hành \( \Rightarrow AH = CK\)
Có OM là đường trung bình của tam giác BCK \( \Rightarrow OM//CK//AH\) và \(OM = {1 \over 2}CK = {1 \over 2}AH\).
Gọi \(G = AM \cap OH\) ta dễ thấy
\( \Rightarrow {{AG} \over {MG}} = {{AH} \over {OM}} = 2 = {{HG} \over {OG}}\), mà AM là trung tuyến của tam giác ABC \( \Rightarrow G\) là trọng tâm tam giác ABC. Vậy H, G, O thẳng hàng, với G là trọng tâm tam giác ABC và \({{HG} \over {OG}} = 2 \Rightarrow \overrightarrow {GO} = - {1 \over 2}\overrightarrow {GH} \).
\( \Rightarrow {V_{\left( {G; - {1 \over 2}} \right)}}\left( H \right) = O\).
Chọn C.
