Cho phương trình sin x + sin 5x = 2cos ^2( dpi 4 - x ) - 2cos ^2( dpi 4 + 2x ). Số điểm biểu diễn cá
Câu hỏi
Nhận biếtCho phương trình \(\sin x + \sin 5x = 2{\cos ^2}\left( {\dfrac{\pi }{4} - x} \right) - 2{\cos ^2}\left( {\dfrac{\pi }{4} + 2x} \right)\). Số điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là:
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2{\cos ^2}\left( {\dfrac{\pi }{4} - x} \right) = 1 + \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} - 2x} \right) = 1 + \sin 2x\\2{\cos ^2}\left( {\dfrac{\pi }{4} + 2x} \right) = 1 + \cos \left( {\dfrac{\pi }{2} + 4x} \right) = 1 - \sin 4x\end{array} \right.\)
Khi đó phương trình trở thành: \(\sin x + \sin 5x = 1 + \sin 2x - 1 + \sin 4x\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sin x + \sin 5x = \sin 2x + \sin 4x \Leftrightarrow 2\sin 3x\cos 2x = 2\sin 3x\cos x\\ \Leftrightarrow 2\sin 3x\left( {\cos 2x - \cos x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 3x = 0\\\cos 2x = \cos x\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = k\pi \\2x = x + k2\pi \\2x = - x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{k\pi }}{3}\\x = k2\pi \\x = \dfrac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{k\pi }}{3}\\x = k2\pi \\x = \dfrac{{k2\pi }}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{{k\pi }}{3}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Vậy có 6 điểm biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác.
Chọn D
