Cho phương trình msin x + ( m + 1 )cos x = m over cos x. Số các giá tr
Câu hỏi
Nhận biếtCho phương trình \(m \sin x + \left( {m + 1} \right) \cos x = {m \over { \cos x}} \). Số các giá trị nguyên dương của m nhỏ hơn 10 để phương trình có nghiệm là:
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Hướng dẫn giải chi tiết
ĐK: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne {\pi \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)
\(\eqalign{ & \,\,\,\,\,\,\,m\sin x + \left( {m + 1} \right)\cos x = {m \over {\cos x}} \cr & \Leftrightarrow m\sin x\cos x + \left( {m + 1} \right){\cos ^2}x = m \cr & \Leftrightarrow m\sin 2x + \left( {m + 1} \right)\left( {1 + \cos 2x} \right) = 2m\,\, \cr & \Leftrightarrow m\sin 2x + \left( {m + 1} \right)\cos 2x = m - 1\,\,\,\left( 1 \right) \cr} \)
Khi \(m=0\) ta có \(\cos 2x=-1\Leftrightarrow 2{{\cos }^{2}}x-1=-1\Leftrightarrow \cos x=0\) (Loại)
Khi \(m \ne 0\). Để phương trình ban đầu có nghiệm thì (1) có nghiệm
\(\eqalign{ & \Leftrightarrow {m^2} + {\left( {m + 1} \right)^2} \ge {\left( {m - 1} \right)^2} \cr & \Leftrightarrow {m^2} + {m^2} + 2m + 1 \ge {m^2} - 2m + 1 \cr & \Leftrightarrow {m^2} + 4m \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{m \ge 0 \hfill \cr m \le - 4 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Kết hợp điều kiện ta được \(\left[ \matrix{m > 0 \hfill \cr m \le - 4 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\mathop \Rightarrow \limits^{m \in {Z^ + },\,m < 10} \,m \in \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9} \right\}\)
Vậy có 9 giá trị của m thỏa mãn.
Chọn B.
