Cho một cấp số cộng ( un ) có u1 = 1và tổng 100 số hạng đầu bằng 10000
Câu hỏi
Nhận biếtCho một cấp số cộng \( \left( {{u_n}} \right) \) có \({u_1} = 1 \)và tổng 100 số hạng đầu bằng 10000 . Tính tổng: \(S = \frac{1}{{{u_1}{u_2}}} + \frac{1}{{{u_2}{u_3}}} + ... + \frac{1}{{{u_{99}}{u_{100}}}} \)
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi d là công sai của cấp số cộng trên ta có:
\({S_n} = \frac{{\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right].n}}{2} \Rightarrow {S_{100}} = \frac{{\left( {2 + 99d} \right).100}}{2} = 10000 \Rightarrow d = 2\).
Khi đó ta có số hạng tổng quát của cấp số cộng là \({u_n} = 1 + \left( {n - 1} \right).2 = 2n - 1\).
Xét \({u_k}{u_{k + 1}} = \frac{1}{{\left( {2k - 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{2k - 1}} - \frac{1}{{2k + 1}}} \right)\). Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}S = \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + ... + \frac{1}{{197}} - \frac{1}{{199}}} \right)\\\Rightarrow S = \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{{199}}} \right) = \frac{{99}}{{199}}\end{array}\).
Vậy \(S = \frac{{99}}{{199}}\).
