Cho một cấp số cộng (un) có u1 = 1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850. Tính S = 1u1^u2 + 1u2u3 + ..
Câu hỏi
Nhận biếtCho một cấp số cộng \(({u_n})\) có \({u_1} = 1\) và tổng 100 số hạng đầu bằng \(24850\). Tính \(S = \frac{1}{{u_1^{}{u_2}}} + \frac{1}{{{u_2}{u_3}}} + ... + \frac{1}{{{u_{49}}{u_{50}}}}\)
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi \(d\) là công sai của cấp số đã cho.
Ta có: \({S_{100}} = 50\left( {2{u_1} + 99d} \right) = 24850 \Rightarrow d = \frac{{497 - 2{u_1}}}{{99}} = 5\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 5S = \frac{5}{{{u_1}{u_2}}} + \frac{5}{{{u_2}{u_3}}} + ... + \frac{5}{{{u_{49}}{u_{50}}}}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{{{u_2} - {u_1}}}{{{u_1}{u_2}}} + \frac{{{u_3} - {u_2}}}{{{u_2}{u_3}}} + ... + \frac{{{u_{50}} - {u_{49}}}}{{{u_{49}}{u_{50}}}}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{{{u_1}}} - \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_2}}} - \frac{1}{{{u_3}}} + ... + \frac{1}{{{u_{48}}}} - \frac{1}{{{u_{49}}}} + \frac{1}{{{u_{49}}}} - \frac{1}{{{u_{50}}}}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \frac{1}{{{u_1}}} - \frac{1}{{{u_{50}}}} = \frac{1}{{{u_1}}} - \frac{1}{{{u_1} + 49d}}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\; = 1 - \frac{1}{{1 + 49.5}} = \frac{{245}}{{246}}.\\ \Rightarrow S = \frac{{49}}{{246}}\end{array}\)
Chọn D.
