Cho m và n là các số nguyên dương phân biệt. Giới hạn mathop lim limitsx to 1 sin ( x - 1 )x^m -
Câu hỏi
Nhận biếtCho \(m\) và \(n\) là các số nguyên dương phân biệt. Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sin \left( {x - 1} \right)}}{{{x^m} - {x^n}}}\) bằng:
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có: \(\frac{{\sin \left( {x - 1} \right)}}{{{x^m} - {x^n}}} = \frac{{\sin \left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}}.\frac{{x - 1}}{{{x^m} - {x^n}}}\).
Xét giới hạn:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^m} - {x^n}}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {{x^m} - 1} \right) - \left( {{x^n} - 1} \right)}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^{m - 1}} + {x^{m - 2}} + ... + x + 1} \right) - \left( {x - 1} \right)\left( {{x^{n - 1}} + {x^{n - 2}} + ... + x + 1} \right)}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {{x^{m - 1}} + {x^{m - 2}} + ... + x + 1} \right) - \left( {{x^{n - 1}} + {x^{n - 2}} + ... + x + 1} \right)}}{1} = m - n\end{array}\)
Mà \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sin \left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} = 1\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sin \left( {x - 1} \right)}}{{{x^m} - {x^n}}} = \frac{1}{{m - n}}\)
Chọn C.
