Cho khai triển ( căn x^3 + 3 root 3 of x^2 )^n với x > 0. Biết tổng hệ số của ba số hạng đầu ti
Câu hỏi
Nhận biếtCho khai triển \({\left( {\sqrt {{x^3}} + {3 \over {\root 3 \of {{x^2}} }}} \right)^n}\) với \(x > 0.\) Biết tổng hệ số của ba số hạng đầu tiên của khai triển là 631. Tìm hệ số của số hạng chứa \({x^5}.\)
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Theo khai triển nhị thức Newton, ta có
\({\left( {\sqrt {{x^3}} + {3 \over {\root 3 \of {{x^2}} }}} \right)^n} = \sum\limits_{k\, = \,0}^n {C_n^k} .{\left( {\sqrt {{x^3}} } \right)^{n\, - \,k}}.{\left( {{3 \over {\root 3 \of {{x^2}} }}} \right)^k} = \sum\limits_{k\, = \,0}^n {C_n^k} {.3^k}.{x^{{{3\left( {n\, - \,k} \right)} \over 2}}}.{x^{ - \,{{2k} \over 3}}} = \sum\limits_{k\, = \,0}^n {C_n^k} {.3^k}.{x^{{{3n} \over 2} - {{13k} \over 6}}}.\)
Suy ra tổng hệ số của 3 số hạng đầu tiên của khai triển là \({3^0}.C_n^0 + {3^1}.C_n^1 + {3^2}.C_n^2 = 631\).
\( \Leftrightarrow 1 + 3n + {{9n\left( {n - 1} \right)} \over 2} = 631 \Rightarrow n = 12.\) Khi đó \({\left( {\sqrt {{x^3}} + {3 \over {\root 3 \of {{x^2}} }}} \right)^{12}} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{12} {C_{12}^k} {.3^k}.{x^{18\, - \,{{13k} \over 6}}}.\)
Hệ số của số hạng chứa \({x^5}\) ứng với \(18 - {{13k} \over 6} = 5 \Leftrightarrow k = 6\,\,\buildrel {} \over \longrightarrow \) Hệ số cần tìm là \(C_{12}^6{.3^6}.\)
Chọn D
