Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông ABCD vuông tại A và D,
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp \(S.ABCD \) có đáy là hình thang vuông \(ABCD \) vuông tại \(A \) và \(D \), \(AB=2a, \) \(AD=CD=a \). Cạnh bên \(SA=a \) và vuông góc với mặt phẳng \( \left( ABCD \right). \) Gọi \( \varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng \( \left( SBC \right) \) và \( \left( ABCD \right) \) . Mệnh đề nào sau đây đúng?
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi M là trung điểm AB\(\,\Rightarrow ADCM\) là hình vuông.
Vì\(\,CM=AD=a=\frac{AB}{2}\). Suy ra tam giác \(ACB\) có trung tuyến bằng nửa cạnh đáy nên vuông tại \(C\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SA\\BC \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BC \bot SC.\)
Do đó :
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\\\left( {SBC} \right) \supset SC \bot BC\\\left( {ABCD} \right) \supset AC \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC;AC} \right)} = \widehat {SCA}.\)Tam giác \(SAC\) vuông tại \(A\)\(\Rightarrow \tan \varphi =\frac{SA}{AC}=\frac{SA}{\sqrt{A{{D}^{2}}+C{{D}^{2}}}}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.\)
Chọn A.
