Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a SA = SB = SC = SD = 2a. Gọi varphi là g
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(2a\), \(SA = SB = SC = SD = 2a\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) và \(\left( {ABCD} \right)\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot OM\\CD \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SOM} \right) \Rightarrow CD \bot SM\).
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\\left( {SCD} \right) \supset SM \bot CD\\\left( {ABCD} \right) \supset OM \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SM;OM} \right) = \angle SMO = \gamma \).
Ta có \(OM = \dfrac{1}{2}AD = \dfrac{1}{2}.2a = a\).
Tam giác \(SCD\) đều cạnh \(2a \Rightarrow SM = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).
\( \Rightarrow SO = \sqrt {S{M^2} - S{O^2}} = \sqrt {3{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 2 \) (Định lí Pytago)
\( \Rightarrow \tan \gamma = \tan \angle SMO = \dfrac{{SO}}{{OM}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{a} = \sqrt 2 \).
Chọn D.
