Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với mp( ABCD )SA=a căn
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a.\) Cạnh bên \(SA\) vuông góc với \(mp\,\,\left( ABCD \right),\,\,SA=a\sqrt{2}.\) Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng qua \(A\) và vuông góc với \(SB.\) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) cắt hình chóp theo một thiết diện có diện tích \(S.\) Tính \(S\) theo \(a.\)
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có AD vuông góc với SA và AB\(\Rightarrow AD\bot mp\,\,\left( SAB \right)\Rightarrow AD\bot SB.\)
Vẽ đường cao AH trong tam giác SAB
Lại có AD và AH qua A và vuông góc với SB.
Vậy mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chính là mặt phẳng (AHD)
Mặt khác AD // mp(SBC) mà \(AD\subset mp\,\,\left( AHD \right)\)
Vậy mặt phẳng (SBC) cắt mặt phẳng (AHD) theo giao tuyến HK // AD.
Do đó mặt cắt là hình thang ADKH mà \(AD\bot mp\,\,\left( SAB \right)\)\(\Rightarrow \,AD\bot AH.\)
Suy ra tứ giác ADKH là hình thang vuông.
Tam giác SAB vuông \(\Rightarrow \,\,AH=\frac{SA.AB}{SC}=\frac{a\sqrt{2}.a}{a\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}.\) Và \(S{{A}^{2}}=SH.HB\,\,\Rightarrow \,\,SH=\frac{S{{A}^{2}}}{SB}=\frac{2{{a}^{2}}}{a\sqrt{3}}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}.\)
Ta có \(HK\)//\(BC\)\(\Rightarrow \,\,\frac{HK}{BC}=\frac{SH}{SB}\,\,\Rightarrow \,\,HK=\frac{SH.BC}{SB}=\frac{\frac{2a\sqrt{3}}{3}.a}{a\sqrt{3}}=\frac{2a}{3}.\)
Do đó \({{S}_{ADKH}}=\frac{AH}{2}.\left( HK+AD \right)=\frac{a\sqrt{6}}{6}.\left( \frac{2a}{3}+a \right)=\frac{a\sqrt{6}}{6}.\frac{5a}{3}=\frac{5{{a}^{2}}\sqrt{6}}{18}.\)
Chọn B
