Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy góc giữa SC và
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, góc giữa SC và mặt đáy (ABCD) bằng \({45^0}\). Tính tan của góc giữa đường thẳng SD và mp(SAC).
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Xác định \({45^0} = \widehat {\left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC;AC} \right)} = \widehat {SCA}\)
\( \Rightarrow \Delta SAC\) vuông cân tại A \( \Rightarrow SA = AC = BD = 2a\sqrt 2 \)
Gọi \(O = AC \cap BD\), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}DO \bot AC\\DO \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow DO \bot \left( {SAC} \right)\) nên hình chiếu vuông góc của SD trên mặt phẳng (SAC) là SO.
Do đó \(\widehat {\left( {SD;\left( {SAC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SD;SO} \right)} = \widehat {DSO} \in \left( {{0^0};{{90}^0}} \right).\)
Ta có \(DO = \frac{1}{2}BD = a\sqrt 2 = AO\), \(SO = \sqrt {S{A^2} + A{O^2}} = \sqrt {8{a^2} + 2{a^2}} = a\sqrt {10} \).
Tam giác vuông SOD, có \(\tan \widehat {DSO} = \frac{{OD}}{{OS}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{a\sqrt {10} }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\).
Chọn A.
