Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Gọi M, N theo thứ t
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Gọi M, N theo thứ tự là trọng tâm của các tam giác SAB và SCD.
a) Chứng minh rằng MN song song với mặt phẳng (ABCD).
b) Gọi I là giao điểm của các đường thẳng BM và CN. Chứng minh rằng SI // CD và tính tỉ số \(\frac{{SI}}{{CD}}\).
c) Gọi G là giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SAC). Chứng minh rằng G là trọng tâm tam giác SBD.
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
1) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Trong (SEF) có: \(\frac{{SM}}{{SE}} = \frac{{SN}}{{SF}} = \frac{2}{3} \Rightarrow MN//EF\) (Định lí Ta-lét đảo)
Mà \(EF \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow MN//\left( {ABCD} \right)\).
2) Xét 2 mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) có:
S chung;
AB // CD (ABCD là hình chữ nhật)
\( \Rightarrow \exists \Delta \) thỏa mãn
\(\left\{ \begin{gathered} S \in \Delta \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \\ AB//CD//\Delta \,\,\,\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.\)
\(BM \subset \left( {SAB} \right);\,\,CM \subset \left( {SCD} \right) \Rightarrow I = BM \cap CN\) nằm trên giao tuyến của \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).
\( \Rightarrow I \in \Delta \) (3)
Từ (1), (2) và (3) \( \Rightarrow SI//AB//CD \Rightarrow SI//CD \Rightarrow SI//FC\)
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\frac{{SI}}{{FC}} = \frac{{SN}}{{NF}}\)
Nên N là trọng tâm tam giác SCD \( \Rightarrow \frac{{SN}}{{NF}} = 2 \Rightarrow \frac{{SI}}{{FC}} = 2\)
\(\frac{{SI}}{{FC}} = \frac{{SI}}{{\frac{{CD}}{2}}} = \frac{{2SI}}{{CD}} = 2 \Leftrightarrow \frac{{SI}}{{CD}} = 1\)
3) Ta xác định G là giao điểm của MN và (SAC), \(MN \subset \left( {SEF} \right)\)
EF là đường nối 2 trung điểm của hình chữ nhật ABCD, gọi \(AC \cap BD = O\) \( \Rightarrow EF\) đi qua O và \(AC \cap EF = O\)
Xét \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SEF} \right)\) có :
S chung ;
\(AC \cap E = O\)
\( \Rightarrow \left( {SAC} \right) \cap \left( {SEF} \right) = SO\)
\(G = SO \cap MN = MN \cap \left( {SAC} \right)\,\,\,\left( 4 \right)\)
Ta lại có:
MN // EF
\(G \in MN;\,\,O \in EF\)
S, G, O thẳng hàng
\( \Rightarrow GM//EO\)
Áp dụng định lí Ta-lét ta có : \(\frac{{SM}}{{SE}} = \frac{{SG}}{{SO}} = \frac{2}{3}\,\,\,\,\left( 5 \right)\)
SO là trung tuyến của tam giác SBD (6)
Từ (4), (5) và (6) ta có G là trọng tâm tam giác SBD.
