Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng ( al
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thay đổi luôn đi qua AB và cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại M, N (M khác S, C và N khác S, D).
a) Chứng minh MN song song với mặt phẳng (ABCD).
b) Chứng minh giao điểm I của AM và BN thuộc một đường thẳng cố định.
c) Gọi K là giao điểm của AN và BM. Chứng minh \(\frac{{AB}}{{MN}} - \frac{{BC}}{{SK}} = 1\).
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
a) Ta có: AB // CD, \(CD \subset \left( {SCD} \right);\,\,AB \not\subset \left( {SCD} \right)\) nên \(AB//\left( {SCD} \right)\).
Do \(AB \subset \left( \alpha \right) \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {SCD} \right) = MN//AB\).
Mặt khác \(AB \subset \left( {ABCD} \right)\) cùng giả thiết M khác S, C và N khác S, D \( \Rightarrow MN//\left( {ABCD} \right)\).
b) Gọi \(O = AC \cap BD\). Do \(I = AM \cap BN\) nên ta có
+) \(\left\{ \begin{array}{l}I \in AM\\AM \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( {SAC} \right)\)
+) \(\left\{ \begin{array}{l}I \in BN\\BN \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( {SBD} \right)\)
Suy ra I thuộc giao tuyến của 2 mặt phẳng (SAC); (SBD).
Mà \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO \Rightarrow I \in SO\) cố định.
c) Gọi \(K = AN \cap BM\).
Xét \(\Delta AKB\) có AB // MN \( \Rightarrow \frac{{AB}}{{MN}} = \frac{{KB}}{{KM}} = \frac{{KM + BM}}{{KM}} = 1 + \frac{{BM}}{{KM}}\,\,\left( 1 \right)\)
Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \subset \left( {SBC} \right)\\AD \subset \left( {SAD} \right)\\BC//AD\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SBC} \right) \cap \left( {SAD} \right) = Sx//AD//BC\)
Mà \(K = AN \cap BM;\,\,AN \subset \left( {SAD} \right);\,\,BM \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow K \in Sx \Rightarrow SK//BC\).
Ta dễ dàng chứng minh được \(\Delta SKM \sim \Delta CBM \Rightarrow \frac{{BC}}{{SK}} = \frac{{BM}}{{KM}}\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \frac{{AB}}{{MN}} = 1 + \frac{{BC}}{{SK}} \Rightarrow \frac{{AN}}{{MN}} - \frac{{BC}}{{SK}} = 1\).
