Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a SA=a và vuông góc với đáy. Mặt phẳng ( alpha
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a,\) \(SA=a\) và vuông góc với đáy. Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua \(A\) và vuông góc với trung tuyến \(SI\) của tam giác \(SBC\). Tính diện tích \(S\) của thiết diện tạo bởi \(\left( \alpha \right)\) với hình chóp đã cho.
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi I là trung điểm \(BC\Rightarrow AI\bot BC.\) Kẻ \(AK\bot SI\) \(\left( K\in SI \right)\).
\(\Delta SAB=\Delta SAC\left( c.g.c \right)\Rightarrow SB=SC\Rightarrow \Delta SBC\) cân tại S \(\Rightarrow SI\bot BC\)
Từ \(K\) kẻ đường thẳng song song với \(BC\) cắt \(SB,\text{ }SC\) lần lượt tạị \(M,\text{ }N\).
\(\Rightarrow MN\bot SI\). Khi đó thiết diện là tam giác \(AMN.\)
Ta có \(\left\{ \begin{align} & BC\bot AI \\ & BC\bot SA \\\end{align} \right.\Rightarrow BC\bot \left( SAI \right)\Rightarrow BC\bot AK\Rightarrow MN\bot AK.\)
Tam giác vuông \(SAI\), có \(AK=\frac{SA.AI}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{I}^{2}}}}=\frac{a.\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{{{a}^{2}}+\frac{3{{a}^{2}}}{4}}}=\frac{a\sqrt{21}}{7}\).
Tam giác \(SBC\), có
\(\frac{MN}{BC}=\frac{SK}{SI}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{I}^{2}}}=\frac{S{{A}^{2}}}{S{{A}^{2}}+A{{I}^{2}}}=\frac{{{a}^{2}}}{{{a}^{2}}+{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=\frac{4}{7}\Rightarrow MN=\frac{4a}{7}.\)
Vậy \({{S}_{\Delta AMN}}=\frac{1}{2}AK.MN=\frac{1}{2}\frac{a\sqrt{21}}{7}.\frac{4a}{7}=\frac{2{{a}^{2}}\sqrt{21}}{49}.\)
Chọn A
