Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên SA=a căn 3 và vuông góc với mặt đáy
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\). Cạnh bên \(SA=a\sqrt{3}\) và vuông góc với mặt đáy \(\left( ABC \right)\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) và \(\left( ABC \right)\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), suy ra \(AM\bot BC\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AM \bot BC\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot SM\).
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\\left( {SBC} \right) \supset SM \bot BC\\\left( {ABC} \right) \supset AM \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SM;AM} \right)} = \widehat {SMA}.\)
Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\), suy ra trung tuyến \(AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\)
Tam giác vuông \(SAM\), có \(\sin \widehat{SMA}=\frac{SA}{SM}=\frac{SA}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{M}^{2}}}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}.\)
Chọn D.
