Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a tâm O đường cao AA'; SO=2a. Gọi M là điểm
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp đều \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), tâm \(O\), đường cao \(AA'\); \(SO=2a\). Gọi \(M\) là điểm thuộc đoạn \(OA'\text{ }\left( M\ne A';M\ne O \right)\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\) và vuông góc với \(AA'\). Đặt \(AM=x\). Tính diện tích \(S\) của thiết diện tạo bởi \(\left( \alpha \right)\) với hình chóp \(S.ABC\).
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Vì S.ABC là hình chóp đều nên \(SO\bot \left( ABC \right)\)
(O là tâm của tam giác ABC).
Do đó \(SO\bot AA'\) mà \(\left( \alpha \right)\bot AA'\) suy ra \(SO\parallel \left( \alpha \right)\).
Tương tự ta cũng có \(BC\parallel \left( \alpha \right)\)
Qua M kẻ \(IJ\parallel BC\) với \(I\in AB,\text{ }J\in AC\); kẻ \(MN\parallel SO\) với \(N\in SA'.\)
Qua N kẻ \(EF\parallel BC\) với \(E\in SB,\text{ }F\in SC\).
Khi đó thiết diện là hình thang IJFE.
Diện tích hình thang \({{S}_{IJEF}}=\frac{1}{2}\left( IJ+EF \right)MN\).
Tam giác ABC, có \(\frac{IJ}{BC}=\frac{AM}{AA'}\Rightarrow IJ=\frac{AM.BC}{AA'}=\frac{x.a}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{2x\sqrt{3}}{3}.\)
Tam giác SBC, có \(\frac{EF}{BC}=\frac{SN}{SA'}=\frac{OM}{OA'}\Rightarrow EF=\frac{OM.BC}{OA'}=\frac{\left( x-\frac{2}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2} \right)a}{\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}}=2\left( x\sqrt{3}-a \right).\)
Tam giác SOA’, có \(\frac{MN}{SO}=\frac{MA'}{OA'}\Rightarrow MN=\frac{SO.MA'}{OA'}=\frac{2a.\left( \frac{a\sqrt{3}}{2}-x \right)}{\frac{1}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2}}=2\left( 3a-2x\sqrt{3} \right).\)
Vậy
\(\begin{align} & {{S}_{IJEF}}=\frac{1}{2}MN\left( EF+IJ \right)=\frac{1}{2}.2\left( 3a-2x\sqrt{3} \right)\left( \frac{2x\sqrt{3}}{3}+2\left( x\sqrt{3}-a \right) \right) \\ & =\frac{2}{3}\left( 4x\sqrt{3}-3a \right)\left( 3a-2x\sqrt{3} \right)=-2\left( 8{{x}^{2}}-6\sqrt{3}ax+3{{a}^{2}} \right). \\\end{align}\)
Chọn A
