Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a cạnh bên bằng b. Mặt phẳng ( alpha ) đi qua A và vuông g
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(a\), cạnh bên bằng \(b\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(SC\). Tìm hệ thức giữa \(a\) và \(b\) để \(\left( \alpha \right)\) cắt \(SC\) tại điểm \({{C}_{1}}\) nằm giữa \(S\) và \(C\).
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
Do S.ABC là hình chóp đều nên \(SG\bot \left( ABC \right)\).
Gọi C’ là trung điểm AB. Suy ra C, C’, G thẳng hàng.
Ta có \(\left\{ \begin{align} & AB\bot CC' \\ & SG\bot AB \\\end{align} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SCC' \right)\Rightarrow AB\bot SC\). (1)
Trong tam giác SAC, kẻ \(A{{C}_{1}}\bot SC\). (2)
Từ (1) và (2), suy ra \(SC\bot \left( AB{{C}_{1}} \right)\).
Suy ra thiết diện cần tìm là tam giác \(AB{{C}_{1}}\) thỏa mãn đi qua A và vuông góc với SC.
Tam giác SAC cân tại S nên để \({{C}_{1}}\) nằm giữa S và C khi và chỉ khi \(\widehat{ASC}<{{90}^{0}}\).
Suy ra \(\cos \widehat{ASC}>0\Leftrightarrow S{{A}^{2}}+S{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}>0\Leftrightarrow 2{{b}^{2}}-{{a}^{2}}>0\Rightarrow a Chọn C
