Cho hàm số y = x^3 + 3x^2 + 1 có đồ thị ( C ). Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A( 1;5
Câu hỏi
Nhận biếtCho hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + 1\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(A\left( {1;5} \right)\) và B là giao điểm thứ hai của d với \(\left( C \right)\). Tính diện tích tam giác OAB ?
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
\(y' = 3{x^2} + 6x \Rightarrow y'\left( 1 \right) = 9\)
\( \Rightarrow \) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm \(A\left( {1;5} \right)\) là
\(y = 9\left( {x - 1} \right) + 5 = 9x - 4 \Leftrightarrow 9x - y - 4 = 0\,\,\left( d \right)\)
Xét phương trình hoành độ giao điểm \({x^3} + 3{x^2} + 1 = 9x - 4 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 5 \Rightarrow y = - 49 \hfill \cr x = 1 \Rightarrow y = 5 \hfill \cr} \right. \Rightarrow B\left( { - 5; - 49} \right)\)
\(\eqalign{ & \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( { - 5 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 49 - 5} \right)}^2}} = 6\sqrt {82} \cr & d\left( {O;AB} \right) = d\left( {O;d} \right) = {{\left| { - 4} \right|} \over {\sqrt {{9^2} + {1^2}} }} = {4 \over {\sqrt {82} }} \cr & 4 \Rightarrow {S_{\Delta OAB}} = {1 \over 2}d\left( {O;d} \right).AB = {1 \over 2}.{4 \over {\sqrt {82} }}.6\sqrt {82} = 12 \cr} \)
Chọn A.
