Cho hàm số y = x + 1x - 2 có đồ thị ( C ) và đường thẳng d:y = x + m. Khi đường thẳng d cắt đồ thị (
Câu hỏi
Nhận biếtCho hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(d:y = x + m\). Khi đường thẳng \(d\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt và tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại hai điểm này song song thì giá trị \(m\) thuộc khoảng nào dưới đây?
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(d\) là \(\frac{{x + 1}}{{x - 2}} = x + m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x + 1 = \left( {x + m} \right)\left( {x - 2} \right)\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x + 1 = {x^2} - 2x + mx - 2m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\\underbrace {{x^2} + \left( {m - 3} \right)x - 2m - 1 = 0}_{f\left( x \right)}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\)
Để \(\left( C \right)\) cắt \(d\) tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}f\left( 2 \right) \ne 0\\{\Delta _{\left( * \right)}} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \,\,{m^2} + 2m + 13 > 0;\,\,\forall m \in \mathbb{R}\)
Khi đó gọi \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right),\,\,B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) là tọa độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(\left( d \right)\)
Ta có \({k_A} = y'\left( {{x_1}} \right) = - \frac{3}{{{{\left( {{x_1} - 2} \right)}^2}}},\,\,{k_B} = y'\left( {{x_2}} \right) = - \frac{3}{{{{\left( {{x_2} - 2} \right)}^2}}}\)
Vì tiếp tuyến tại hai điểm \(A\) và \(B\) song song \( \Rightarrow \)\({k_A} = {k_B}\)
\( \Leftrightarrow \left| {{x_1} - 2} \right| = \left| {{x_2} - 2} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} - 2 = {x_2} - 2\\{x_1} - 2 = - \,{x_2} + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = 4\)
Theo hệ thức Vi-et, ta có \({x_1} + {x_2} = 3 - m\) suy ra \(3 - m = 4 \Leftrightarrow m = - \,1\)
Chọn C.
