Cho hàm số (với mn in R): f( x ) = *20cmdx^2 - 4x^2 - 3x + 2 + n^2khix > 2nx - m^2 - 5khix < 2 .. T
Câu hỏi
Nhận biếtCho hàm số (với \(m,n \in \mathbb{R}\)): \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m\dfrac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - 3x + 2}} + {n^2}\,\,\,khi\,\,\,x > 2}\\{nx - {m^2} - 5\,\,\,\,\,khi\,\,x < 2}\end{array}} \right.\). Tìm \(m,\,\,n\) để hàm số có giới hạn khi \(x \to 2\).
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {nx - {m^2} - 5} \right) = 2n - {m^2} - 5\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {m\dfrac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - 3x + 2}} + {n^2}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {m\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}} + {n^2}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {m\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}} + {n^2}} \right) = 4m + {n^2}\end{array}\)
Để hàm số có giới hạn khi \(x \to 2\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right)\) \( \Leftrightarrow 2n - {m^2} - 5 = 4m + {n^2}\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2} + {n^2} + 4m - 2n + 5 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 4 + {n^2} - 2n + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} + {\left( {n - 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 2 = 0\\n - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 2\\n = 1\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(m = - 2,\,\,n = 1\).
Chọn C.
