Cho hàm số f xác định có đạo hàm trên R thỏa mãn
f^2( - x ) = ( x^2 + 2x + 4 )f(
Câu hỏi
Nhận biếtCho hàm số \(f\) xác định, có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn
\({f^2}\left( { - \,x} \right) = \left( {{x^2} + 2x + 4} \right)f\left( {x + 2} \right)\) và \(f\left( x \right) \ne 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}.\)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \(x = 0\) là
Đáp án đúng: B
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Xét đẳng thức \({f^2}\left( { - \,x} \right) = \left( {{x^2} + 2x + 4} \right)f\left( {x + 2} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right).\)
\( \bullet \) Thay \(x = 0,\,\,x = - \,2\) vào \(\left( * \right)\), ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{f^2}\left( 0 \right) = 4.f\left( 2 \right)\\{f^2}\left( 2 \right) = 4.f\left( 0 \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow f\left( 0 \right) = f\left( 2 \right) = 4,\) vì \(f\left( 0 \right) \ne 0.\)
\( \bullet \) Đạo hàm hai vế của \(\left( * \right),\) ta được \({\left[ {{f^2}\left( { - \,x} \right)} \right]^{\,\prime }} = {\left[ {\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)f\left( {x + 2} \right)} \right]^{\,\prime }}\)
\( \Leftrightarrow \, - \,2f\left( { - \,x} \right).f'\left( { - \,x} \right) = \left( {2x + 2} \right)f\left( {x + 2} \right) + \left( {{x^2} + 2x + 4} \right)f'\left( {x + 2} \right)\) \(\left( {\rm I} \right).\)
\( \bullet \) Thay \(x = 0,\,\,x = - \,2\) vào \(\left( {\rm I} \right),\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l} - \,2f\left( 0 \right).f'\left( 0 \right) = 2f\left( 2 \right) + 4f'\left( 2 \right)\\ - \,2f\left( 2 \right).f'\left( 2 \right) = - \,2f\left( 0 \right) + 4f'\left( 0 \right)\end{array} \right.\)
Mà \(f\left( 0 \right) = f\left( 2 \right) = 4\) nên suy ra \(\left\{ \begin{array}{l} - \,8f'\left( 0 \right) = 8 + 4f'\left( 2 \right)\\ - \,8f'\left( 2 \right) = - \,8 + 4f'\left( 0 \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( 0 \right) = - \,2\\f'\left( 2 \right) = 2\end{array} \right..\)
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \(x = 0\) là
\(y - f\left( 0 \right) = f'\left( 0 \right)\left( {x - 0} \right) \Leftrightarrow y - 4 = - \,2x \Leftrightarrow y = - \,2x + 4.\)
Chọn B.
