Cho đa thức P( x ) bậc 3 và có 3 nghiệm phân biệt x1x2x3. Tính d1P'( x1 ) + d1P'( x2 ) + d1P'( x3 )
Câu hỏi
Nhận biếtCho đa thức \(P\left( x \right)\) bậc 3 và có 3 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3}\). Tính \(\dfrac{1}{{P'\left( {{x_1}} \right)}} + \dfrac{1}{{P'\left( {{x_2}} \right)}} + \dfrac{1}{{P'\left( {{x_3}} \right)}} \).
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Do \(P\left( x \right)\) bậc 3 và có 3 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3}\) nên \(P\left( x \right)\) được biểu diễn dưới dạng \(P\left( x \right) = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right)\,\,\left( {a \ne 0} \right)\).
Ta có: \(P'\left( x \right) = a\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right) + a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_3}} \right) + a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}P\left( {{x_1}} \right) = a\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} - {x_3}} \right)\\P\left( {{x_2}} \right) = a\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} - {x_3}} \right)\\P\left( {{x_3}} \right) = a\left( {{x_3} - {x_1}} \right)\left( {{x_3} - {x_2}} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{P'\left( {{x_1}} \right)}} + \dfrac{1}{{P'\left( {{x_2}} \right)}} + \dfrac{1}{{P'\left( {{x_3}} \right)}}\\ = \dfrac{1}{{a\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} - {x_3}} \right)}} + \dfrac{1}{{a\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} - {x_3}} \right)}} + \dfrac{1}{{a\left( {{x_3} - {x_1}} \right)\left( {{x_3} - {x_2}} \right)}}\\ = \dfrac{{ - {x_2} + {x_3} - {x_3} + {x_1} - {x_1} + {x_2}}}{{a\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_2} - {x_3}} \right)\left( {{x_3} - {x_1}} \right)}} = 0 \end{array}\)
