Cho đa giác đều n đỉnh n in N và n ge 3. Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 135 đường chéo.
Câu hỏi
Nhận biếtCho đa giác đều \(n\) đỉnh, \(n \in N\) và \(n \ge 3\). Tìm \(n\) biết rằng đa giác đã cho có \(135\) đường chéo.
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
+ Tìm công thức tính số đường chéo: Số đoạn thẳng tạo bởi \(n\) đỉnh là \(C_n^2\), trong đó có \(n\) cạnh
Suy ra số đường chéo của đa giác là \(C_n^2 - n\).
+ Đa giác đã cho có 135 đường chéo nên ta có phương trình \(C_n^2 - n = 135\).
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!2!}} - n = 135,\;\;\,\left( {n \in \mathbb{N},\;n \ge 2} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{2\left( {n - 2} \right)!}} - n = 135\\ \Leftrightarrow \left( {n - 1} \right)n - 2n = 270 \Leftrightarrow {n^2} - 3n - 270 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 18\;\,\left( {tm} \right)\\n = - 15\,\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow n = 18.\end{array}\)
Chọn D
