Cho đa giác đều A1A2...A2n nội tiếp trong đường tròn tâm O. Biết rằng số tam giác có đỉnh là 3 trong
Câu hỏi
Nhận biếtCho đa giác đều \({A_1}{A_2}...{A_{2n}}\) nội tiếp trong đường tròn tâm O. Biết rằng số tam giác có đỉnh là 3 trong 2n điểm \({A_1},{A_2},...,{A_n}\) gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n điểm \({A_1},{A_2},...,{A_n}\). Vậy giá trị của n là:
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Số tam giác có 3 đỉnh là 3 trong 2n điểm \({A_1},{A_2},...,{A_n}\) là \(C_{2n}^3\).
Ứng với 2 đường chéo đi qua tâm của đa giác đều \({A_1}{A_2}...{A_{2n}}\) cho tương ứng một hình chữ nhật có 4 đỉnh và là 4 điểm trong 2n điểm \({A_1},{A_2},...,{A_n}\). Và ngược lại mỗi hình chữ nhật như vậy sẽ cho ra 2 đường chéo đi qua tâm của đa giác đều đó.
Số đường chéo đi qua tâm của đa giác đều 2n đỉnh là n nên số hình chữ nhật có 4 đỉnh trong 2n đỉnh là \(C_n^2\).
Theo giả thiết ta có:
\(\eqalign{ & C_{2n}^3 = 20C_n^2 \Leftrightarrow {{\left( {2n} \right)!} \over {3!\left( {2n - 3} \right)!}} = 20{{n!} \over {2!\left( {n - 2} \right)!}} \Leftrightarrow {{2n\left( {2n - 1} \right)\left( {2n - 2} \right)} \over 6} = 10n\left( {n - 1} \right) \cr & \Leftrightarrow 4{n^3} - 6{n^2} + 2n = 30{n^2} - 30n \Leftrightarrow 4{n^3} - 36{n^2} + 32n = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ n = 8\,\left( {tm} \right) \hfill \cr n = 1\,\,\left( {ktm} \right) \hfill \cr} \right. \cr} \)
(Khi n = 1 thì t có đa giác đều 2 đỉnh, vô lý).
Vậy n = 8.
Chọn C.
