Cho các số thực a, b thỏa | a | < 1;;;| b | < 1. Tìm giới hạn I = lim
Câu hỏi
Nhận biếtCho các số thực a, b thỏa \( \left| a \right| < 1; \; \; \left| b \right| < 1 \). Tìm giới hạn \(I = \lim \frac{{1 + a + {a^2} + ... + {a^n}}}{{1 + b + {b^2} + ... + {b^n}}} \).
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có \(1,\;a,\;{a^2},\;...,\;{a^n}\) là một cấp số nhân có công bội \(a \Rightarrow 1 + a + {a^2} + ... + {a^n} = \frac{{1 - {a^{n + 1}}}}{{1 - a}}.\)
Tương tự: \(1 + b + {b^2} + ... + {b^n} = \frac{{1 - {b^{n + 1}}}}{{1 - b}}\)
\( \Rightarrow \lim I = \lim \frac{{\frac{{1 - {a^{n + 1}}}}{{1 - a}}}}{{\frac{{1 - {b^{n + 1}}}}{{1 - b}}}} = \lim \left( {\frac{{1 - {a^{n + 1}}}}{{1 - a}}.\frac{{1 - b}}{{1 - {b^{n + 1}}}}} \right) = \lim \left( {\frac{{1 - {a^{n + 1}}}}{{1 - {b^{n + 1}}}}.\frac{{1 - b}}{{1 - a}}} \right) = \frac{{1 - b}}{{1 - a}}.\)
(Vì \(\left| a \right| < 1,\;\;\left| b \right| < 1\)\( \Rightarrow \lim {a^{n + 1}} = \lim {b^{n + 1}} = 0\)).
Chọn C.
