Cho a và b là các số thực khác 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để hàm số f( x ) = l căn ax +
Câu hỏi
Nhận biếtCho \(a\) và \(b\) là các số thực khác 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa \(a\) và \(b\) để hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {ax + 1} \sqrt[3]{{bx + 1}} - 1}}{x}\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x \ne 0\\a + b\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x = 0\end{array} \right.\) liên tục tại \(x = 0?\)
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {ax + 1} \sqrt[3]{{bx + 1}} - 1}}{x}\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {ax + 1} \left( {\sqrt[3]{{bx + 1}} - 1} \right) + \left( {\sqrt {ax + 1} - 1} \right)}}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {ax + 1} \left( {\sqrt[3]{{bx + 1}} - 1} \right)}}{x} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {ax + 1} - 1}}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {ax + 1} \left( {\sqrt[3]{{bx + 1}} - 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {bx + 1} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{bx + 1}} + 1} \right)}}{{x\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {bx + 1} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{bx + 1}} + 1} \right)}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt {ax + 1} - 1} \right)\left( {\sqrt {ax + 1} + 1} \right)}}{{x\left( {\sqrt {ax + 1} + 1} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{bx\sqrt {ax + 1} }}{{x\left( {\sqrt[3]{{{{\left( {bx + 1} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{bx + 1}} + 1} \right)}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ax}}{{x\left( {\sqrt {ax + 1} + 1} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{b\sqrt {ax + 1} }}{{\sqrt[3]{{{{\left( {bx + 1} \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{bx + 1}} + 1}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{a}{{\sqrt {ax + 1} + 1}} = \frac{a}{2} + \frac{b}{3}\end{array}\)
Để hàm số liên tục tại \(x = 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right)\)
\( \Leftrightarrow \frac{a}{2} + \frac{b}{3} = a + b \Leftrightarrow 3a + 2b = 6a + 6b \Leftrightarrow 3a + 4b = 0.\)
Chọn C.
