Cho a b là các số thực khác 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để hàm số sau liên tục tại x = 0: f(
Câu hỏi
Nhận biếtCho a, b là các số thực khác 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để hàm số sau liên tục tại \(x = 0\): \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{ {{\sqrt {ax + 1} \root 3 \of {bx + 1} - 1} \over x}\,\,\,\,\,khi\,x \ne 0 \hfill \cr a + b\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 0 \hfill \cr} \right.\)
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sqrt {ax + 1} \root 3 \of {bx + 1} - 1} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\left( {\sqrt {ax + 1} - 1} \right)\left( {\root 3 \of {bx + 1} - 1} \right) + \left( {\sqrt {ax + 1} - 1} \right) + \left( {\root 3 \of {bx + 1} - 1} \right)} \over x} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{{{ax + 1 - 1} \over {\sqrt {ax + 1} + 1}}.{{bx + 1 - 1} \over {{{\root 3 \of {bx + 1} }^2} + \root 3 \of {bx + 1} + 1}} + {{ax + 1 - 1} \over {\sqrt {ax + 1} + 1}} + {{bx + 1 - 1} \over {{{\root 3 \of {bx + 1} }^2} + \root 3 \of {bx + 1} + 1}}} \over x} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {{{abx} \over {\left( {\sqrt {ax + 1} + 1} \right)\left( {{{\root 3 \of {bx + 1} }^2} + \root 3 \of {bx + 1} + 1} \right)}} + {a \over {\sqrt {ax + 1} + 1}} + {b \over {{{\root 3 \of {bx + 1} }^2} + \root 3 \of {bx + 1} + 1}}} \right] \cr & = 0 + {a \over 2} + {b \over 3} = {a \over 2} + {b \over 3} \cr} \)
Để hàm số liên tục tại x = 0 thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow {a \over 2} + {b \over 3} = a + b \Leftrightarrow {a \over 2} + {{2b} \over 3} = 0 \Leftrightarrow 3b + 4b = 0\)
Chọn C.
