Biết rằng khi m = m0 thì phương trình 2sin ^2x - ( 5m + 1 )sin x + 2m^2 + 2m = 0 có đúng 5 nghiệm ph
Câu hỏi
Nhận biếtBiết rằng khi \(m = {m_0}\) thì phương trình \(2{\sin ^2}x - \left( {5m + 1} \right)\sin x + 2{m^2} + 2m = 0\) có đúng \(5\) nghiệm phân biệt thuộc khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};3\pi } \right)\). Mệnh đề nào sau đây là đúng?
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Đặt \(t = \sin x{\rm{ }}\left( { - 1 \le t \le 1} \right)\).
Phương trình trở thành \(2{t^2} - \left( {5m + 1} \right)t + 2{m^2} + 2m = 0.\)\(\left( * \right)\).
Yêu cầu bài toán tương đương với:
TH1: Phương trình \(\left( * \right)\)có một nghiệm \({t_1} = - 1\) (có một nghiệm \(x\)) và một nghiệm \(0 < {t_2} < 1\) (có bốn nghiệm phân biệt \(x\)) (Hình 1).
Do \({t_1} = - 1 \Rightarrow {t_2} = - \frac{c}{a} = - {m^2} - m\).
Thay \({t_1} = - 1\) vào phương trình \(\left( * \right)\), ta được \(\left[ \begin{array}{l}m = - 3\,\, \Rightarrow {t_2} = - 6 \notin \left( {0;1} \right)\;\left( {ktm} \right)\\m = - \frac{1}{2}\,\, \Rightarrow {t_2} = \frac{1}{4} \in \left( {0;1} \right)\;\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
TH2: Phương trình \(\left( * \right)\) có một nghiệm \({t_1} = 1\) (có hai nghiệm phân biệt \(x\)) và một nghiệm \( - 1 < {t_2} \le 0\) (có ba nghiệm phân biệt\(x\)) (Hình 2).
Do \({t_1} = 1 \Rightarrow {t_2} = \frac{c}{a} = {m^2} + m\).
Thay \({t_1} = 1\) vào phương trình \(\left( * \right)\), ta được \(\left[ \begin{array}{l}m = 1\,\, \Rightarrow {t_2} = 2 \notin \left( { - 1;0} \right]\;\;\left( {ktm} \right)\\m = \frac{1}{2}\,\, \Rightarrow {t_2} = \frac{3}{4} \notin \left( { - 1;0} \right]\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\)
Vậy \(m = - \frac{1}{2}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do \(m = - \frac{1}{2} \in \left( { - \frac{3}{5}; - \frac{2}{5}} \right).\)
Chọn D
