7.2^2n - 2 + 3^2n - 1 vdots 5
Câu hỏi
Nhận biết\({7.2^{2n - 2}} + {3^{2n - 1}}\,\, \vdots \,\,5\)
Đáp án đúng:
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Đặt \({A_n} = {7.2^{2n - 2}} + {3^{2n - 1}}\).
Bước 1: Với \(n = 1\), ta có \({A_1} = {7.2^0} + {3^1} = 10\,\, \vdots \,\,5\) (Đúng)
Như vậy mệnh đề đúng khi \(n = 1\).
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k \ge 1\), ta có \({A_k} = \left( {{{7.2}^{2k - 2}} + {3^{2k - 1}}} \right)\,\, \vdots \,\,5\) (Giả thiết quy nạp).
Ta chứng minh \({A_{k + 1}}\,\, \vdots \,\,5\,\,\,\left( 2 \right)\).
Thật vậy, ta có
\(\begin{array}{l}{A_{k + 1}} = {7.2^{2k}} + {3^{2k + 1}} = {7.2^2}{2^{2k - 2}} + {3^2}{.3^{2k - 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {4.7.2^{2k - 2}} + {4.3^{2k - 1}} + {5.3^{2k - 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4\left( {{{7.2}^{2k - 2}} + {3^{2k - 1}}} \right) + {5.3^{2k - 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4{A_k} + {5.3^{2k - 1}}\end{array}\)
Theo giả thiết quy nạp \({A_k}\,\, \vdots \,\,5 \Rightarrow 4{A_k}\,\, \vdots \,\,5\), lại thấy \({5.3^{2k - 1}}\,\, \vdots \,\,5\) nên \({A_{k + 1}}\,\, \vdots \,\,5\).
Kết luận \({7.2^{2n - 2}} + {3^{2n - 1}}\) chia hết cho \(5\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
