1. Cho n là số tự nhiên thỏa mãn Cn^0 + 2Cn^1 + 2^2Cn^2 + ... + 2^nCn^n = 59049. Biết số hạng thứ 3
Câu hỏi
Nhận biết1. Cho n là số tự nhiên thỏa mãn \(C_n^0 + 2C_n^1 + {2^2}C_n^2 + ... + {2^n}C_n^n = 59049\). Biết số hạng thứ 3 trong khai triển Newton của \({\left( {{x^2} - \frac{3}{x}} \right)^n}\) có giá trị bằng \(\frac{{81}}{2}n\). Tìm x?
2. Có 2 lô sản phẩm. Lô I có 10 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm xấu. Lô II có 12 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm xấu. Một người chọn ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm từ lô I và 2 sản phẩm từ lô II một cách độc lập. Tính xác suất để cả 4 sản phẩm được chọn ra đều là sản phẩm tốt.
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
1. Xét tổng \({\left( {x + 2} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^{n - k}}{2^k}} = C_n^0.{x^n} + C_n^1{x^{n - 1}}{2^1} + C_n^2{x^{n - 2}}{2^2} + ... + C_n^n{2^n}\)
Thay \(x = 1\) ta có: \({3^n} = C_n^0 + 2C_n^1 + {2^2}C_n^2 + ... + {2^n}C_n^n = 59049 \Rightarrow n = 10\)
Ta có: \({\left( {{x^2} - \frac{3}{x}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{{\left( {{x^2}} \right)}^{10 - k}}{{\left( { - \frac{3}{x}} \right)}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{x^{20 - 2k}}{{\left( { - 3} \right)}^k}{x^{ - k}}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{{\left( { - 3} \right)}^k}{x^{20 - 3k}}} \)
Số hạng thứ 3 trong khai triển trên là \(C_{10}^2{\left( { - 3} \right)^2}.{x^{14}} = \frac{{81}}{2}n = \frac{{81}}{2}.10 = 405\)
\( \Leftrightarrow 405.{x^{14}} = 405 \Leftrightarrow x = \pm 1\)
Vậy \(x = 1\) hoặc \(x = - 1\).
2. Số cách chọn 4 sản phẩm bất kì (2sp lô I + 2sp lô II) là \(C_{15}^2.C_{15}^2\) cách \( \Rightarrow n\left( \Omega \right) = C_{15}^2.C_{15}^2\)
Số cách chọn 2 sản phẩm tốt từ lô I là \(C_{10}^2 = 45\)
Số cách chọn 2 sản phẩm tốt từ lô II là \(C_{12}^2 = 66\)
Gọi A là biến cố: “ cả 4 sản phầm được chọn ra đều là sản phẩm tốt”
\( \Rightarrow n\left( A \right) = 45.66 = 2970\)
Vậy \(P\left( A \right) = \frac{{2970}}{{C_{15}^2.C_{15}^2}} = \frac{{66}}{{245}}\).
