Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C. Gọi H là trung điểm AB. Biết rằng SH vuô
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(C\). Gọi \(H\) là trung điểm \(AB\). Biết rằng \(SH\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) và \(AB=SH=a.\) Tính cosin của góc \(\alpha \) tọa bởi hai mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) và \(\left( SAC \right)\).
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có \(SH\bot \left( ABC \right)\Rightarrow SH\bot CH\). (1)
Tam giác ABC cân tại C nên \(CH\bot AB\). (2)
Từ (1) và (2), suy ra \(CH\bot \left( SAB \right)\).
Gọi I là trung điểm \(AC\)\(\Rightarrow \,\,HI//BC\xrightarrow{BC\,\bot \,\,AC}HI\bot AC\). (3)
Mặt khác \(AC\bot SH\) (do \(SH\bot \left( ABC \right)\)). (4)
Từ (3) và (4), suy ra \(AC\bot \left( SHI \right)\).
Kẻ \(HK\bot SI\text{ }\,\left( K\in SI \right)\). (5)
Từ \(AC\bot \left( SHI \right)\Rightarrow AC\bot HK\). (6).
Từ (5) và (6), suy ra \(HK\bot \left( SAC \right)\).
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}HK \bot \left( {SAC} \right)\\HC \bot \left( {SAB} \right)\end{array} \right.\) nên góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SAC \right)\) và \(\left( SAB \right)\) bằng góc giữa hai đường thẳng \(HK\) và \(HC\).
Ta có \(HK\bot \left( SAC \right)\Rightarrow HK\bot CK\Rightarrow \Delta CHK\( vuông tại K.
Có \(CH=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}\); \(\frac{1}{H{{K}^{2}}}=\frac{1}{S{{H}^{2}}}+\frac{1}{H{{I}^{2}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{\left( \frac{1}{2}.\frac{a}{\sqrt{2}} \right)}^{2}}}\Rightarrow HK=\frac{a}{3}\).
Do đó \(\cos \widehat{CHK}=\frac{HK}{CH}=\frac{\frac{a}{3}}{\frac{a}{2}}=\frac{2}{3}.\)
Chọn D.
