Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S có độ dài cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a căn 32. Gọi M v
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) đỉnh \(S,\) có độ dài cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(SB\) và \(SC.\) Tính theo \(a\) diện tích tam giác \(AMN,\) biết rằng mặt phẳng \(\left( AMN \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( SBC \right).\)
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Gọi \(K\) là trung điểm của \(BC\) và \(I=SK\cap MN\)
Từ giả thiết \(\Rightarrow \,\,MN=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2},\) \(MN\parallel BC\)\(\Rightarrow \,\,I\) là trung điểm của \(SK\) và \(BC.\)
Ta có \(\Delta \,SAB=\Delta \,SAC\)\(\Rightarrow \) Hai trung tuyến tương ứng \(AM=AN.\)
\(\Rightarrow \,\,\Delta \,AMN\) cân tại \(A\)\(\Rightarrow \,\,AI\bot MN.\) Mà \(\left( SBC \right)\bot \left( AMN \right)\Rightarrow AI\bot \left( SBC \right)\)
\(\Rightarrow \,\,AI\bot SK.\)
Suy ra tam giác \(SAK\) cân tại \(A\,\,\Rightarrow \,\,SA=AK=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\)
Khi đó \(S{{K}^{2}}=S{{B}^{2}}-B{{K}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{2}\Rightarrow AI=\sqrt{S{{A}^{2}}-{{\left( \frac{SK}{2} \right)}^{2}}}=\frac{a\sqrt{10}}{4}.\)
Vậy diện tích tam giác \(AMN\) là \({{S}_{\Delta \,AMN}}=\frac{1}{2}MN.AI=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{10}}{16}.\)
Chọn D
