Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C mặt bên SAC là tam giác đều và nằm trong mặt
Câu hỏi
Nhận biếtCho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(C\), mặt bên \(SAC\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi \(I\) là trung điểm của \(SC\). Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
(I) \(AI\bot SC.\).
(II) \(\left( SBC \right)\bot \left( SAC \right).\)
(III) \(AI\bot BC.\)
(IV) \(\left( ABI \right)\bot \left( SBC \right).\)
Đáp án đúng: D
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Tam giác \(SAC\) đều có \(I\) là trung điểm của \(SC\) nên \(AI\bot SC\).
\(\Rightarrow \) (I) đúng.
Gọi \(H\) là trung điểm \(AC\) suy ra \(SH\bot AC\). Mà \(\left( SAC \right)\bot \left( ABC \right)\) theo giao tuyến \(AC\) nên \(SH\bot \left( ABC \right)\) do đó \(SH\bot BC\). Hơn nữa theo giả thiết tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\) nên \(BC\bot AC\).
Từ đó suy ra \(BC\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BC\bot AI.\) Do đó đáp án (III) đúng.
Từ mệnh đề (I) và (III) suy ra mệnh đề (IV) đúng.
Ta có: \(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AC\\BC \bot AH\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right)\\BC \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAC} \right)\end{array}\).
Suy ra (II) đúng.
Vậy cả 4 mệnh đề trên đều đúng.
Chọn D.
