Biểu thức2Cn^k + 5Cn^k + 1 + 4Cn^k + 2+Cn^k + 3 bằng biểu thức nào sau đây?
Câu hỏi
Nhận biếtBiểu thức\(2C_n^k + 5C_n^{k + 1} + 4C_n^{k + 2}+C_n^{k + 3}\) bằng biểu thức nào sau đây?
Đáp án đúng: A
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Trước hết ta chứng minh \(C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}\)
\(\eqalign{ & VT = C_n^k + C_n^{k + 1} \cr & = {{n!} \over {k!\left( {n - k} \right)!}} + {{n!} \over {\left( {k + 1} \right)!\left( {n - k - 1} \right)!}} \cr & = {{n!} \over {k!\left( {n - k - 1} \right)!}}\left( {{1 \over {n - k}} + {1 \over {k + 1}}} \right) \cr & = {{n!} \over {k!\left( {n - k - 1} \right)!}}.{{k + 1 + n - k} \over {\left( {n - k} \right)\left( {k + 1} \right)}} \cr & = {{n!\left( {n + 1} \right)} \over {k!\left( {k + 1} \right)\left( {n - k - 1} \right)!\left( {n - k} \right)}} \cr & = {{\left( {n + 1} \right)!} \over {\left( {k + 1} \right)!\left( {n - k} \right)!}} = C_{n + 1}^{k + 1} = VP \cr} \)
Ta có:
\(\eqalign{ & \,\,\,\,C_n^k + 2C_n^{k + 1} + C_n^{k + 2} \cr & = C_n^k + C_n^{k + 1} + C_n^{k + 1} + C_n^{k + 2} \cr & = C_{n + 1}^{k + 1} + C_{n + 1}^{k + 2} \cr & = C_{k + 2}^{n + 2} \cr & \,\,\,\,C_n^k + 3C_n^{k + 1} + 3C_n^{k + 2} + C_n^{k + 3} \cr & = C_n^k + C_n^{k + 1} + 2\left( {C_n^{k + 1} + C_n^{k + 2}} \right) + C_n^{k + 2} + C_n^{k + 3} \cr & = C_{n + 1}^{k + 1} + 2C_{n + 1}^{k + 2} + C_{n + 1}^{k + 3} \cr & = C_{n + 1}^{k + 1} + C_{n + 1}^{k + 2} + C_{n + 1}^{k + 2} + C_{n + 1}^{k + 3} \cr & = C_{n + 2}^{k + 2} + C_{n + 2}^{k + 3} \cr & = C_{n + 3}^{k + 3} \cr & \Rightarrow 2C_n^k + 5C_n^{k + 1} + 4C_n^{k + 2} +C_n^{k + 3}= C_{k + 2}^{n + 2} + C_{n + 3}^{k + 3} \cr} \)
Chọn A.
