Tìm hệ số của x^4 trong khai triển biểu thức ( 2 over x - x^3 )^n với x ne 0, biết n là số tự nhiên
Câu hỏi
Nhận biếtTìm hệ số của \({x^4}\) trong khai triển biểu thức \({\left( {{2 \over x} - {x^3}} \right)^n}\) với \(x \ne 0,\) biết \(n\) là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức \(C_{n\, - \,4}^{n\, - \,6} + n.A_n^2 = 454.\)
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Ta có \(C_{n\, - \,4}^{n\, - \,6} + n.A_n^2 = 454 \Leftrightarrow {{\left( {n - 4} \right)!} \over {\left( {n - 6} \right)!.2!}} + n.{{n!} \over {\left( {n - 2} \right)!}} = 454 \Leftrightarrow {{\left( {n - 4} \right)\left( {n - 5} \right)} \over 2} + {n^2}\left( {n - 1} \right) = 454.\)
\( \Leftrightarrow {n^2} - 9n + 20 + 2{n^2}\left( {n - 1} \right) = 908 \Leftrightarrow 2{n^3} - {n^2} - 9n - 888 = 0\,\,\buildrel {} \over \longrightarrow \,\,n = 8.\)
Với \(n = 8,\) theo khai triển nhị thức Newton, ta có
\({\left( {{2 \over x} - {x^3}} \right)^8} = \sum\limits_{k\, = \,0}^8 {C_8^k} .{\left( {{2 \over x}} \right)^{8\, - \,k}}.{\left( { - \,{x^3}} \right)^k} = \sum\limits_{k\, = \,0}^8 {C_8^k} {.2^{8\, - \,k}}.{\left( { - \,1} \right)^k}.{{{x^{3k}}} \over {{x^{8\, - \,k}}}} = \sum\limits_{k\, = \,0}^8 {C_8^k} {.2^{8\, - \,k}}.{\left( { - \,1} \right)^k}.{x^{4k\, - \,8}}.\)
Hệ số của số hạng chứa \({x^4}\) ứng với \(4k - 8 = 4 \Leftrightarrow k = 3\,\,\buildrel {} \over \longrightarrow \) Hệ số cần tìm là \(C_8^3{.2^5}.{\left( { - \,1} \right)^3} = - \,1792.\)
Chọn C
