Tính tổng T các nghiệm của phương trình cos ^2x = sin xcos x + 2sin x
Câu hỏi
Nhận biếtTính tổng \(T \) các nghiệm của phương trình \({ \cos ^2}x = \sin x \cos x + 2 \sin x - \cos x - 2 \) trên khoảng \( \left( { \dfrac{ \pi }{2};5 \pi } \right) \).
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}{\cos ^2}x = \sin x\cos x + 2\sin x - \cos x - 2\\ \Leftrightarrow 1 - {\sin ^2}x = \sin x\left( {\cos x + 2} \right) - \left( {\cos x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {1 - \sin x} \right)\left( {1 + \sin x} \right) = \left( {\cos x + 2} \right)\left( {\sin x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x - 1} \right)\left( {\cos x + 2 + 1 + \sin x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x - 1} \right)\left( {\sin x + \cos x + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 1\\\sin x + \cos x = - 3\,\,\left( {Vo\,\,nghiem\,\,do\,\,{1^2} + {1^2} < {{\left( { - 3} \right)}^2}} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Xét \(x \in \left( {\dfrac{\pi }{2};5\pi } \right)\) ta có \(\dfrac{\pi }{2} < \dfrac{\pi }{2} + k2\pi < 5\pi \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} < \dfrac{1}{2} + 2k < 5 \Leftrightarrow 0 < k < \dfrac{9}{4}\).
Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \left\{ {1;2} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ {\dfrac{{5\pi }}{2};\dfrac{{9\pi }}{2}} \right\}\).
Vậy \(T = \dfrac{{5\pi }}{2} + \dfrac{{9\pi }}{2} = 7\pi \).
Chọn C.
