Giá trị của tổng Sn = 1^2 + 2^2 + ... + n^2 là:
Câu hỏi
Nhận biếtGiá trị của tổng \({S_n} = {1^2} + {2^2} + ... + {n^2} \) là:
Đáp án đúng: C
Lời giải của Tự Học 365
Giải chi tiết:
Với n = 1 ta có \({S_1} = {1^2} = 1 = {{1\left( {1 + 1} \right)\left( {2.1 + 1} \right)} \over 6}\)
Với n = 2 ta có \({S_2} = {1^2} + {2^2} = 5 = {{2\left( {2 + 1} \right)\left( {2.2 + 1} \right)} \over 6}\)
Với n = 3 ta có \({S_3} = {1^2} + {2^2} + {3^2} = 14 = {{3\left( {3 + 1} \right)\left( {2.3 + 1} \right)} \over 6}\)
Dự đoán \({S_n} = {{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)} \over 6}\,\,\left( * \right)\), ta sẽ chứng minh đẳng thức (*) đúng bằng phương pháp quy nạp.
Với n = 1 thì (*) đúng.
Giả sử (*) đúng đến n = k, tức là \({S_k} = {1^2} + {2^2} + ... + {k^2} = {{k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)} \over 6}\), ta chứng minh (*) đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh \({S_{k + 1}} = {1^2} + {2^2} + ... + {\left( {k + 1} \right)^2} = {{\left( {k + 1} \right)\left( {\left( {k + 1} \right) + 1} \right)\left( {2\left( {k + 1} \right) + 1} \right)} \over 6}\).
Ta có:
\(\eqalign{ & {S_{k + 1}} = {1^2} + {2^2} + ... + {k^2} + {\left( {k + 1} \right)^2} = {{k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)} \over 6} + {\left( {k + 1} \right)^2} \cr & = {{\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + k + 6k + 6} \right)} \over 6} = {{\left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} + 7k + 6} \right)} \over 6} = {{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {2k + 3} \right)} \over 6} = {{\left( {k + 1} \right)\left( {\left( {k + 1} \right) + 1} \right)\left( {2\left( {k + 1} \right) + 1} \right)} \over 6} \cr} \).
Vậy (*) đúng với mọi n.
Chọn C.
